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流體力學中的“有勢無旋”是個什么鬼?

2021-04-18  熱流工程坊

下面請大家考慮這么一個問題:對于無粘性不可壓縮無旋流動而言,該如何求解其對應的流場?

理想圓柱繞流



無旋是個啥?簡單理解就是不轉唄。

數學上的定義就是:一個矢量(比如說速度v)沿著任意一條閉合路徑的曲線積分為0。

轉化一下就是(忘了怎么轉換的?點擊傳送門


自然可以得到


展開以后就是

又是矢量又是行列式,而且還是關于速度三個分量的方程,直接處理起來顯然很困難。

不慌,數學上發現,下面這個東西也是嚴格等于0的。

于是,我們順理成章得到

并且可以順勢把符號作速度勢,這就是“勢”的來源,“勢”這個東西可以理解為驅動流體流動的動力

當然,嚴格來說,上面的推導差了一個常數,而之所以加一個負號,是為了讓速度方向從高速度勢指向低速度勢,就好比水往低處流的那種感覺。這些解釋起來好像有點復雜呢!

總結

只要一個矢量無旋,那么一定存在一個標量勢函數,使得該矢量等于標量勢函數的梯度,當然這個結論反過來也成立。

為了方便記憶,于是才有了這句名言“有勢無旋,無旋有勢”。

不過總感覺有了口訣讓這個結論更復雜了呢?!



這樣處理的好處又是啥呢?

我們可以把上面的結論代入不可壓縮流體的連續性方程

那么就有

這不就是拉普拉斯方程嗎?解它,So easy!

學過數學物理方程的童鞋應該都知道,基本上整本書都在花式求解拉普拉斯方程,然后得到一堆叫做級數的東西。

如果你嫌這么解頭疼,作為一名CFDer,當然可以用數值求解的方法,而且拉普拉斯方程直接用最普通的中心差分格式就可以很精確地求解了,什么迎風格式、QUICK格式、MUSCL格式等等,通通都去死!

顯然,引入速度勢以后,連續性方程直接從三個變量變成了一個變量,求解起來自然難度降低了n個數量級。



所以說,以后凡是碰到旋度等于0的情況,基本上按照下面這個套路去操作就可以了,絕對讓你事半功倍!



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